Jóhann Berg lagði upp fyrsta mark liðsins strax á sjöttu mínútu áður en heimamenn jöfnuðu metin sex mínútum síðar.
Anass Zaroury bætti þó tveimur mörkum við fyrir gestina fyrir hlé og Burnley fór því með 3-1 forystu inn í hálfleikinn.
Dominic Solanke minnkaði muninn fyrir Bournemouth snemma í síðari hálfleik, en Manuel Benson gulltryggði 4-2 sigur gestanna með marki á 57. mínútu og Burnley því á leið í fjórðu umferð FA-bikarsins á kostnað Bournemouth.
Þá tapaði úrvalsdeildarlið Nottingham Forest óvænt gegn Blackpool, 4-1, en Brighton vann öruggan sigur gegn Middlesbrough á útivelli, lokatölur þar 1-5.
